8
положительная, кривизна же седлообразного простран-
ства отрицательная. Оно бесконечно и неограничено;
параллельные линии в этом пространстве в конце кон-
цов расходятся. Линии простираются бесконечно, не
встречаясь друг с другом. Такое пространство называет-
ся также «гиперболическим».
Эти три возможных формы пространства показаны
(частично) на схеме (см. рис. 4). Оказывается, эти
Рис. 4. Три возможные формы, пространства —
плоская, сферическая и гиперболическая (седло-
образная-) — иллюстрируются здесь на двухмер-
ной поверхности. То же и в измерениях более
высокого порядка:
1 — плоская; 2 — сферическая; 3 — гиперболи-
ческая.
12
три вида пространства существуют не только в двух и
трех измерениях, но также и во всех измерениях более
высокого порядка. Будь наше пространство девятймер-
ным, и тогда бы имелись только эти три случая кри-
визны.
Если бы трехмерное пространство было плоским, оно
бы подчинялось всем законам двухмерной евклидовой
плоской геометрии. Один из этих законов гласит: сум-
ма углов треугольника равна 180°. Другой утверждает,
что окружность круга равна 2яR (R — радиус круга).
В сферическом пространстве сумма углов треугольни-
ка больше 180°, а окружность круга меньше, чем окруж-
ность круга в плоском пространстве. В гиперболическом
пространстве сумма углов треугольника меньше 180°, а
окружность круга больше окружности в плоском про-
странстве. Пространство должно иметь одну из этих
трех форм, если оно подчиняется космологическому
принципу. Какую именно? И как мы определяем ее?
В двух измерениях представляется возможным оп-
ределить, является ли неизвестная поверхность плоской,
сф.ерической или седлообразной. Для этого необходимо
установить, увеличивается ли площадь круга, вычерчен-
ного на ней, строго пропорционально квадрату его ра-
диуса, или она увеличивается медленнее или быстрее.
В трех измерениях вопрос заключается в том, насколь-
ко быстро объем шара увеличивается в зависимости от
его радиуса. Пространство является плоским, сфериче-
ским или седлообразным в соответствии с тем—увели-
чивается ли объем строго пропорционально кубу его
радиуса или происходит это более медленно или более
быстро. В таком случае форму пространства, в котором
мы живем, можно было бы в принципе определить сле-
дующим образом: вначале подсчитать число галактик,
образующих Вселенную при расстояниях, растущих в
глубь пространства, а затем посмотреть, как это число
изменяется в зависимости от расстояния, поскольку
космологический принцип требует, чтобы число галак-
тик на единицу объема было равномерным.