10
этого факта является следующий закон преломления лучей
в ОЛ:
Эо =
р//7о,
где F0 —
фокусное расстояние линзы. К чему приводит
переход параметра р из числителя в знаменатель в
формулах для в0 и Gg, показано на рис. 2. Здесь изображен
ход лучей в двух линзах. В точке xs расположен
точечный источник света, от которого отходят лучи по
разным направлениям. Рассмотрим один из лучей,
выделенный жирной линией. После преломления в линзах он
пересекает ось в точке х. Но на этом общность свойств
ОЛ и ГЛ, по существу, и заканчивается. Связь между
х& и х дается в ОЛ так называемым уравнением линзы:
l/*s+ 1А'=1//7о. Аналогично можно записать и
уравнение ГЛ, только заменив F0 на Fg: l/xs+l/x=l/Fg.
Величина F0 связана с 0О следующим соотношением: F0 =
13
=р/в0. Точно так же находится и Fg=pj®g=p2l2rg.
Поэтому основное уравнение, определяющее оптику ГЛ,
выглядит так:
\/xs+l/x=2rg/p\
Видно, что фокусное расстояние ГЛ зависит от р,
поэтому лучи, проходящие на разных расстояниях от
центра притяжения, пересекают ось х в разных точках,
образуя фокальную полуось. В ОЛ дело обстоит совсем не
так. Поскольку F0 не зависит от р, все лучи
пересекаются в одной точке (фокусе линзы), удаленной на
расстояние Xf =
F0Xs/(Xs—Fo).
Далее учтем, что звезда-линза имеет непрозрачное
ядро (мы пока рассматриваем только такие ГЛ),
поэтому прицельный параметр луча не может быть меньше
радиуса звезды R. Итак, pmm=/? и соответственно
Fgmm =
R2/2rg. Максимальные же значения р и Fg
ничем не ограничены, поэтому вместо определенного
фокуса хр ГЛ имеет фокальную полуось, начинающуюся в
точке Xmin=R2Xs/(2rgxB—R2) и простирающуюся от
линзы до бесконечности. В замене фокуса на фокальную
полуось и заключается основное отличие между ОЛ и
ГЛ.
Будем рассматривать для определенности очень
далекие источники, считая, что xs-+°o. При этом на линзу
падает поток параллельных лучей, а точка пересечения
оси каждым лучом находится на расстоянии x=p2/2rs
от ГЛ. При p =
R легко определяется минимальное
расстояние xmin =
R2/2rgy которое соответствует началу
фокальной полуоси. Если взять для ориентировочных
оценок данные, относящиеся к Солнцу (/?с=7-105 км, rg~
—
3 км), получим #min^8,3-1010 км. Вспомним, что
расстояние от Земли до Солнца равно 1,5-108 км, т. е. в
несколько сот раз меньше #min. Это означает, что